你能解决狮子和羔羊经典游戏理论之谜吗?

你能解决狮子和羔羊经典游戏理论之谜吗?

杀了一只羊羔需要多少狮子? 答案并不像你想象的那么直截了当。 至少不是,根据博弈论。

博弈论 是研究和预测决策的数学分支。 它往往涉及到创造假设的场景或“游戏”,根据一系列规则,一些被称为“玩家”或“代理人”的个人可以从一组定义的行为中进行选择。 每个行动都会有一个“回报”,目标通常是为每个玩家找出最大的回报,以便弄清楚他们会如何行事。

这种方法已被广泛用于各种主题,包括 经济学, 生物学, 政治心理学并帮助解释在拍卖,投票和市场竞争中的行为。 但博弈论,由于其本质,也引起了一些有趣的脑筋急转弯。

其中一个不太有名的谜题涉及到玩家将如何竞争资源,在这种情况下,饥饿的狮子和美味的羊肉。 一群狮子住在被草覆盖的小岛上,但没有其他动物。 狮子是相同的,完全理性的,意识到其他人都是理性的。 他们也知道,其他所有的狮子都知道其他所有的狮子都是理性的,等等。 这种相互认识就是所谓的“常识”。 这样可以确保没有狮子会有机会或试图智取别人。

自然,狮子非常饥饿,但他们并没有试图互相争斗,因为他们的体力是相同的,所以不可避免地会死亡。 因为它们都是完全理性的,所以每只狮子都喜欢饿死的生命。 没有别的办法,他们可以靠吃基本无限的草来生存,但是他们都喜欢吃更多的东西。

有一天,一只小羊奇迹般地出现在岛上。 看起来是一个不幸的生物。 然而它实际上有一个幸存下来的机会,这取决于狮子的数量(以字母N表示)。 如果有狮子消耗没有防御力的羔羊,它就会变得太满,无法与其他狮子保卫自己。

假设狮子不能分享,挑战是要根据N的价值来确定羔羊能否存活。或者换句话说,对于每只狮子来说,最好的行动方式是什么 - 吃羊肉或者不吃羊肉 - 取决于小组中有多少人。

解决方案

这种类型的博弈论问题,你需要找到一个N(N是一个正整数)的一般价值的解决方案,是一个很好的方式来测试游戏理论家的逻辑和展示如何落后的诱导作品。 逻辑归纳涉及使用证据来形成可能是正确的结论。 向后诱导 是一种通过逐步回溯到基本的情况来找到问题的明确答案的方法,可以通过简单的逻辑论证来解决这个问题。

在狮子游戏中,基本情况是N = 1。 如果岛上只有一只饥饿的狮子,就会毫不犹豫地吃羊肉,因为没有其他狮子可以与之竞争。

现在让我们看看在N = 2的情况下会发生什么。 两头狮子都得出结论:如果其中一头吃羊肉,变得太饱不足,就会被另一只狮子吃掉。 因此,两人都不会尝试吃羊肉,三个动物都会幸福地生活在一起,在岛上吃草(如果过着完全依靠两头饥饿狮子的理智的生活就可以称为幸福)。

对于N = 3,如果有任何一只狮子吃羊肉(实际上变成一只无防御的羊肉本身),它将把游戏减少到与N = 2相同的情况,其余的狮子都不会尝试消耗最新无防御的狮子。 因此,最接近真正的羊羔的狮子吃了它,三只狮子仍然在岛上,没有试图互相谋杀。

对于N = 4,如果有任何狮子吃羊肉,它会把游戏减少到N = 3场景,这意味着吃羊肉的狮子最终会被自己吃掉。 因为没有一个狮子想要这样做,所以他们只留下羊羔。

谈话本质上,游戏的结果是由最接近羔羊的狮子的行为决定的。 对于每个整数N,狮子意识到吃羊肉会使游戏减少到N-1的情况。 如果N-1情况导致羊羔的生存,最接近的狮子吃它。 否则,所有的狮子让羔羊活着。 所以,每当逻辑回到基本情况,我们可以得出这样的结论:当N是一个奇数时,总是会吃掉羊肉,当N是一个偶数时,羊肉会继续存活。

关于作者

Amirlan Seksenbayev,数学科学博士候选人,概率和应用, 英国伦敦大学玛丽皇后学院

这篇文章最初发表于 谈话。 阅读 原创文章.

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